Bu yazının üzerinden 2 yıl 1 ay 5 gün geçmiş. Yani artık burda yazılanlar güncelliğini yitirmiş olabilir. En iyis siz Anasayfa ya da bi göz atın ;)

Oscar Bonilla blogunda bayes teoremi hakkında bir yazı yazmış. Ben de daha önce yudkovsky‘nin blogunda görmüştüm ama çok uzun (wikipedia’daki “bayes teoremi” başlığından bile uzun) diye ellememiştim bu konuyu. Oscar’ın kısalttığını görünce bende çevireyim dedim. Tümünü aynı zamanda çevirmediğim için arada kopukluklar olma olasılığı var, bunları ve hataları yorum olarak belirtirseniz düzeltirim ;)

Olasılık konusunu anlamanın en basit yollarından biri olayı Venn Şeması şeklinde düşünmektir. Temel olarak, tüm olası sonuçları içeren bir evrensel kümeniz ve olasılığını aradığınız olayın sonuçlarını içeren bir alt kümeniz bulunmaktadır. Örneğin insanların kanser olup olmadıklarını araştırdığımız bir çalışma yapıyoruz diyelim. Araştırmamıza katılan tüm insanları evrensel küme olarak alırsak bu kişiler için iki sonuç olacaktır: ya kanserdir ya değildir. Buna göre evrensel kümemizi iki farklı olaya bölebiliriz: A (kanser hastası olanlar) ve A’(kanser hastası olmayanlar). Bunu aşağıdaki gibi belirtebiliriz:

Peki bu araştırmada rasgele seçilen bir kişinin kanser olma olasılığı nedir? Bunu bulmak için yapmamız gereken tek şey A kümesinin eleman sayısını Evrensel kümemizin eleman sayısına bölmektir. (P(A): A olayının olma olasılığı, Universe: Evrensel küme)

Eğer A kümesinin eleman sayısı Evrensel kümenin eleman sayısına eşit ise olasılığımız 1 çıkacaktır (ki bu da bir olayın olasılığının alabileceği en yüksek değerdir ve kesin olarak olacağı anlamına gelir. “Kesin olay” şeklinde isimlendirilir)

Umarım buraya kadar bir sorun yoktur. Her şey yolunda ise hadi bir olay daha ekleyelim. Diyelim ki yeni bir test yöntemi bulundu ve bu test bazı insanlar için “pozitif”, bazı insanlar için ise “negatif” olacak. Eğer B olayını “testi pozitif olan kişiler” olarak alırsak aşağıdaki gibi bir venn şeması da çizebiliriz.

Peki, buradan rastgele seçilen bir insanın testinin pozitif çıkma olasılığı nedir? Yine aynı yöntem: B kümesinin eleman sayısını evrensel kümenin eleman sayısına bölüyoruz.

Dikkat ettiyseniz bundan önceki olaylar birbirlerinden izole idi. Yani aynı anda iki sonuç birden olamıyordu. Peki bunları birleştirirsek ne olur?

İki olayın birden olma olasılığını yine aynı yöntemi kullanarak hesaplayabiliriz:

Şimdi işler ilginçleşmeye başlıyor. Yukarıdaki şemadan ne anlıyorsunuz?

Yukarıdaki şemada şunlar var:

• Teste katılan tüm insanlar (evrensel küme)
• A olayı (kanser hastası olan insanlar)
• B olayı (test sonucu pozitif olan insanlar)
• AB olayı (hem kanser hastası hem pozitif test sonucu olan insanlar)
• Bunların yanında B – AB olayı (kanser hastası olmayıp pozitif test sonucu olan insanlar) ve A – AB olayı (kanser hastası olup negatif test sonucu olan insanlar) da var.

Şimdi, cevabını aradığımız soru şu : “Testi pozitif olanlar arasından rasgele seçilmiş olan birinin kanser hastası olma olasılığı nedir?” Bunu Venn şemasına uyarlayalım “B kümesinin içinde olduğumuzu varyasayarsak. AB kümesinin içinde olma olasılığımız nedir?” veya “B kümesini evrensel kümemiz yaparsak, A nın olasılığı nedir?” Bunun gösterimi şu şekilde olur P(A|B) ve “B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının olasığı” anlamına gelir.

Peki bu ne demek? Şöyle bir şey olsa gerek:

Eğer pay ve paydayı evrensel küme ile bölersek

bu eşitliği aşağıdaki gibi de yazabiliriz

Burada yaptığımız şey Evrensel kümemizi B kümesi ile değiştirmek oldu. Ancak hala Evrensel kümemizde tanımlanmış olasılıklarla uğraşıyoruz.

Şimdi soruyu tersten soralım “Seçilen kişinin kanser hastası olduğu bilindiğine göre(A olayı), bu kişinin testinin pozitif olma olasılığı(AB olayı) nedir?” Neyi sorduğunu görmek çok kolay:

Artık tek yapmamız gereken Bayes Teoremini buradan türetmek, elde ettiklerimizi eşitlersek aşağıdakini elde ederiz

ve yukarıdaki formül zaten Bayes teoreminin ta kendisi. Buradan şunu çıkarabiliriz: bu Venn Şeması metodu Bayes teoreminin formülünü unutsam bile istediğim zaman türetebilmemi sağlıyor. Üstelik bu şekilde uygulaması daha kolay.

Bayes Teoremi’nin Tarihi hakkında ufacık bilgi

Bayes Teoremi, İngiliz rahip Thomas Bayes tarafından bulunmuştur. Ancak çalışması kendisi öldükten sonra bir arkadaşı tarafından yayına hazırlanıp bastırılmıştır. Hakkında daha çok bilgi wikipedia’dan bulunabilir.

• Benzer Yazılar
• Etiketler